Kalkulator Aturan Simpson

Kategoria: Kalkulus

- July 07, 2025

| |

Hitung integral tentu secara numerik menggunakan Aturan Simpson. Kalkulator ini memperkirakan integral dari suatu fungsi pada interval tertentu dengan mencocokkan busur parabola melalui titik-titik yang berjarak sama.

Parameter Integrasi

Fungsi untuk Diintegrasikan:

Gunakan x sebagai variabel. Fungsi matematika: sin, cos, tan, log, sqrt, dll.

Batas Bawah (a):

Batas Atas (b):

Jumlah Interval (n):

Harus berupa bilangan genap untuk Aturan Simpson

Opsi Visualisasi

Tampilkan grafik fungsi

Tampilkan area pendekatan

Memahami Aturan Simpson

Aturan Simpson adalah metode pendekatan numerik untuk integral tentu. Metode ini mendekati fungsi menggunakan polinomial kuadrat, yang memberikan akurasi lebih baik dibandingkan metode sederhana seperti Aturan Trapesium.

Rumus

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Dimana:

h = (b - a) / n adalah lebar setiap subinterval
n adalah jumlah subinterval (harus genap)
x_i = a + i·h adalah titik-titik yang berjarak sama

Istilah Kesalahan

Aturan Simpson memiliki istilah kesalahan sebesar O(h⁵), yang berarti kesalahan sebanding dengan h⁴. Secara spesifik:

\text{Kesalahan} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Dimana f⁽⁴⁾(ξ) adalah turunan keempat dari f pada suatu titik ξ antara a dan b.

Perbandingan dengan Metode Lain

Aturan Titik Tengah: Kesalahan adalah O(h³), kurang akurat dibandingkan Aturan Simpson
Aturan Trapesium: Kesalahan adalah O(h³), kurang akurat dibandingkan Aturan Simpson
Aturan Simpson 3/8: Akurasi serupa dengan Aturan Simpson
Kuadratur Gaussian: Lebih akurat untuk kelas fungsi tertentu

Disclaimer: Kalkulator ini memberikan pendekatan numerik yang mungkin mengandung kesalahan, terutama untuk fungsi dengan singularitas atau osilasi cepat. Selalu verifikasi hasil penting dengan metode alternatif atau solusi analitik jika memungkinkan.

Apa Itu Kalkulator Aturan Simpson?

Kalkulator Aturan Simpson adalah alat interaktif yang memperkirakan nilai integral tentu. Alih-alih menyelesaikan integral kompleks secara manual, kalkulator ini menerapkan metode numerik yang andal untuk mendekati luas di bawah kurva, yang dikenal sebagai Aturan Simpson. Alat ini sangat berguna untuk fungsi-fungsi yang sulit atau tidak mungkin diintegrasikan secara analitik.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Metode ini membagi interval menjadi sejumlah bagian genap dan memasang parabola melalui titik-titik pada grafik fungsi. Metode ini memberikan akurasi yang lebih baik dibandingkan aturan trapesium atau aturan titik tengah.

Mengapa Menggunakannya?

Baik Anda seorang pelajar, guru, insinyur, atau pembelajar yang penasaran, Kalkulator Aturan Simpson membantu Anda:

Memperkirakan integral tentu dengan cepat
Memvisualisasikan bagaimana luas di bawah kurva didekati
Memahami dampak perubahan jumlah interval
Melakukan analisis kesalahan dan melihat perilaku konvergensi

Alat ini juga melengkapi alat lain seperti Kalkulator Integral untuk menyelesaikan integral tentu atau tak tentu dan Kalkulator Antiturunan untuk menemukan antiturunan. Jika Anda bekerja dengan fungsi multivariabel, coba Kalkulator Turunan Parsial untuk menghitung turunan parsial atau menganalisis diferensiasi multivariabel.

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah sederhana ini untuk mendapatkan perkiraan akurat dari integral tentu Anda:

Masukkan fungsi yang ingin Anda integralkan di kotak input (gunakan x sebagai variabel).
Tetapkan batas bawah dan atas untuk interval integrasi.
Pilih jumlah interval (harus berupa angka genap).
Opsional, aktifkan pemetaan fungsi dan visualisasi pendekatan.
Klik "Hitung Integral" untuk melihat hasil, grafik, dan rincian.

Anda dapat mengatur ulang kalkulator kapan saja menggunakan tombol "Reset".

Kasus Penggunaan Umum

Gunakan Kalkulator Aturan Simpson untuk:

Mendekati luas di bawah kurva ketika integral eksak sulit dihitung
Membandingkan hasil numerik dengan solusi eksak dari pemecah integral
Menganalisis konvergensi dengan meningkatkan jumlah interval
Memahami perilaku kesalahan pada berbagai jumlah interval

Alat ini sangat berguna untuk memeriksa pekerjaan atau melengkapi hasil dari alat seperti Kalkulator Turunan Kedua atau Kalkulator Turunan Arah dalam analisis multivariabel.

FAQ

Q: Jenis fungsi apa yang dapat saya masukkan?
Fungsi apa pun yang menggunakan x sebagai variabel. Ekspresi umum meliputi polinomial, fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Contohnya: x^2 + sin(x).

Q: Mengapa jumlah interval harus genap?
Aturan Simpson bergantung pada pemasangan parabola di antara pasangan interval. Jumlah interval ganjil akan merusak pasangan ini.

Q: Seberapa akurat metode ini?
Aturan Simpson sangat akurat untuk fungsi yang halus dan semakin baik dengan lebih banyak interval. Kalkulator ini juga menunjukkan informasi kesalahan dan konvergensi.

Q: Bagaimana jika fungsi saya tidak terdefinisi di beberapa titik?
Hindari fungsi dengan singularitas atau diskontinuitas dalam interval. Hal ini dapat menyebabkan hasil yang tidak akurat atau kesalahan evaluasi.

Pemikiran Akhir

Kalkulator ini adalah pendamping yang berguna untuk mempelajari kalkulus dan menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan integrasi. Alat ini merupakan bagian dari rangkaian alat matematika yang lebih luas seperti Kalkulator Turunan, Kalkulator Turunan Invers, dan Kalkulator Limit yang menyederhanakan pembelajaran dan penerapan konsep matematika tingkat lanjut.