Kalkulator Dekomposisi QR

Kategoria: Aljabar Linear
- May 17, 2025
| |

Hitung dekomposisi QR dari sebuah matriks, di mana A = QR dengan Q menjadi matriks ortogonal dan R menjadi matriks segitiga atas.

Kalkulator ini menggunakan proses Gram-Schmidt untuk menemukan faktorisasi QR dari matriks mana pun dengan kolom yang independen secara linier.

Input Matriks

Memahami Dekomposisi QR

Dekomposisi QR adalah metode faktorisasi matriks yang mendasar dalam aljabar linier yang memecah sebuah matriks menjadi matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R.

Proses Gram-Schmidt

Dekomposisi QR biasanya dihitung menggunakan proses Gram-Schmidt, yang mengikuti langkah-langkah berikut:

  1. Mulai dengan matriks A dengan kolom a1, a2, ..., an
  2. Hitung basis ortogonal u1, u2, ..., un dari kolom-kolom A
  3. Normalisasi vektor-vektor ini untuk membuat vektor ortonormal q1, q2, ..., qn
  4. Matriks Q terdiri dari kolom ortonormal ini: Q = [q1 q2 ... qn]
  5. Matriks R berisi proyeksi kolom asli ke basis ortonormal
Definisi Matematis

Untuk matriks m×n A dengan kolom yang independen secara linier:

  • Q adalah matriks m×n dengan kolom ortonormal
  • R adalah matriks segitiga atas n×n dengan elemen diagonal positif
  • A = QR

Ortogonalitas Q berarti QTQ = I (matriks identitas).

Sifat Utama
  • Jika A memiliki kolom yang independen secara linier, dekomposisi QR-nya adalah unik
  • Untuk matriks persegi A dengan peringkat penuh, Q adalah ortogonal (QT = Q-1)
  • Dekomposisi QR secara numerik stabil dibandingkan dengan beberapa faktorisasi matriks lainnya
  • Menghitung dekomposisi QR umumnya lebih efisien daripada menghitung invers dari sebuah matriks
Formula Dekomposisi QR:
A = Q × R
Di mana:
- A adalah matriks asli
- Q adalah matriks ortogonal (QTQ = I)
- R adalah matriks segitiga atas

Apa Itu Kalkulator Dekomposisi QR?

Kalkulator Dekomposisi QR membantu Anda memecah matriks menjadi dua komponen spesifik: matriks ortogonal (Q) dan matriks segitiga atas (R). Proses ini berguna di banyak bidang aljabar linier, terutama saat menyelesaikan sistem persamaan atau melakukan analisis regresi.

Alat ini menggunakan proses Gram-Schmidt untuk melakukan perhitungan. Ini akurat, cepat, dan melakukan semua pekerjaan berat untuk Anda, bahkan menampilkan penjelasan langkah demi langkah yang bersifat opsional. Apakah Anda sedang belajar atau bekerja dengan data nyata, kalkulator ini menawarkan jalur yang jelas untuk faktorisasi matriks QR.

Kenapa Menggunakan Dekomposisi QR?

Dekomposisi QR adalah teknik faktorisasi matriks yang banyak digunakan dalam analisis numerik dan aljabar linier. Ini sangat membantu untuk:

  • Menyelesaikan sistem linier secara efisien
  • Menangani masalah kuadrat terkecil
  • Menghitung nilai eigen sebagai bagian dari proses transformasi matriks
  • Mempermudah matriks untuk digunakan dalam analisis data atau pembelajaran mesin

Bagaimana Cara Menggunakan Kalkulator

Menggunakan Kalkulator Dekomposisi QR sangat sederhana:

  1. Masukkan jumlah baris dan kolom untuk matriks Anda.
  2. Klik “Buat Matriks” untuk menghasilkan kolom input.
  3. Isi nilai matriks Anda secara manual atau gunakan opsi “Matriks Acak” atau “Matriks Identitas”.
  4. Pilih preferensi tampilan Anda, seperti presisi desimal atau menampilkan pecahan.
  5. Klik “Hitung Dekomposisi QR” untuk mendapatkan hasilnya.

Kalkulator akan menunjukkan:

  • Matriks asli (A)
  • Matriks ortogonal (Q)
  • Matriks segitiga atas (R)
  • Verifikasi bahwa A = QR
  • Konfirmasi bahwa Q adalah ortogonal (QTQ = I)
  • Pecahan langkah demi langkah opsional dari proses

Di Mana Lagi QR Digunakan?

Kalkulator ini adalah bagian dari seperangkat alat matriks yang lebih luas yang sering digunakan bersama dalam studi dan aplikasi aljabar linier:

  • Kalkulator Dekomposisi LU: Memecah matriks menjadi matriks segitiga bawah dan atas.
  • Kalkulator Invers Matriks: Menemukan invers dari matriks persegi.
  • Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan: Menyelesaikan sistem linier menggunakan reduksi baris.
  • Kalkulator Diagonal Matriks: Mengubah matriks menggunakan nilai eigen untuk penyederhanaan.
  • Kalkulator Pseudoinvers: Menangani matriks non-persegi atau singular menggunakan metode Moore-Penrose.

FAQ

Apa itu Dekomposisi QR digunakan untuk?

Ini menyederhanakan persamaan matriks dan sangat penting untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, melakukan penyesuaian data, dan dalam perhitungan nilai eigen.

Jenis matriks apa yang dapat didekomposisi?

Setiap matriks dengan kolom yang independen secara linier dapat didekomposisi menggunakan alat ini. Jumlah baris harus lebih besar dari atau sama dengan jumlah kolom.

Apakah prosesnya akurat?

Ya. Kalkulator memverifikasi baik hasil A = QR dan ortogonalitas Q menggunakan perkalian matriks, memastikan presisi numerik.

Apakah saya perlu memahami matematika di baliknya?

Tidak. Alat ini memberikan hasil dan penjelasan langkah demi langkah opsional jika Anda ingin belajar lebih banyak.

Bisakah saya melihat langkah-langkah perantara?

Ya, cukup centang kotak yang bertuliskan “Tampilkan langkah perhitungan” sebelum menghitung. Ini sangat baik untuk belajar atau memverifikasi pekerjaan Anda sendiri.

Kesimpulan

Kalkulator Dekomposisi QR adalah cara yang berguna dan ramah pengguna untuk menganalisis dan memecah matriks untuk aplikasi matematis, akademis, atau praktis. Apakah Anda menjelajahi metode dekomposisi matriks atau membutuhkan alat faktorisasi QR yang cepat, kalkulator ini memberikan hasil yang dapat diandalkan dengan usaha minimal.

Ini melengkapi alat matriks kuat lainnya seperti alat faktorisasi matriks LU, alat invers matriks, penyelesai matriks pseudoinvers, dan alat diagonal matriks — memberikan Anda seperangkat sumber daya lengkap untuk bekerja dengan sistem linier dan operasi matriks lanjutan.