Kalkulator SVD

Kategoria: Aljabar Linear
- June 02, 2025
| |

Hitung Singular Value Decomposition (SVD) dari sebuah matriks. SVD memecah sebuah matriks menjadi tiga komponen: U, Σ, dan V*. Dekomposisi ini memiliki banyak aplikasi dalam statistik, pemrosesan sinyal, kompresi gambar, dan lainnya.

Input Matriks

Opsi Tampilan

Tentang Singular Value Decomposition

Singular Value Decomposition (SVD) adalah teknik faktorisasi yang memecah matriks A menjadi tiga matriks: U, Σ, dan V*. Ini memiliki aplikasi luas dalam ilmu data, pemrosesan sinyal, dan aljabar linier.

Definisi Matematis

Untuk matriks m×n A, SVD adalah:

A = UΣV*

di mana:

  • U adalah matriks ortogonal m×m (U*U = I)
  • Σ adalah matriks diagonal m×n dengan nilai singular non-negatif
  • V* adalah transpose konjugat dari matriks ortogonal n×n V (V*V = I)
Aplikasi SVD
  • Pengurangan Dimensi: Analisis Komponen Utama (PCA)
  • Kompresi Gambar: Mengurangi penyimpanan sambil mempertahankan kualitas gambar
  • Analisis Data: Pengurangan noise dan ekstraksi fitur
  • Sistem Rekomendasi: Penyaringan kolaboratif untuk rekomendasi
  • Perhitungan Pseudoinverse: Mencari solusi untuk sistem yang tidak teratur
  • Pemrosesan Sinyal: Penyaringan dan penghilangan noise
Properti SVD
  • Nilai singular adalah unik dan diatur dalam urutan menurun
  • Jumlah nilai singular yang tidak nol sama dengan pangkat matriks
  • Nomor kondisi adalah rasio nilai singular terbesar terhadap terkecil
  • SVD dapat digunakan untuk menghitung pseudoinverse melalui A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD stabil secara numerik untuk perhitungan

Rumus Dekomposisi Nilai Tunggal:

A = UΣV*

Dimana:

  • U = matriks vektor singular kiri
  • Σ = matriks diagonal nilai singular
  • V* = transpose dari matriks vektor singular kanan

Apa Itu Kalkulator SVD?

Kalkulator Dekomposisi Nilai Tunggal (SVD) adalah alat berbasis web yang memecah matriks apa pun menjadi tiga komponen dasar: U, Σ (Sigma), dan V*. Proses ini banyak digunakan dalam aljabar linier untuk aplikasi seperti kompresi data, penyaringan sinyal, dan penyelesaian sistem persamaan.

Dengan Kalkulator SVD, Anda dapat dengan cepat menganalisis struktur matriks, memahami sifat dimensi, dan menghitung nilai kunci seperti angka kondisi, peringkat, dan pseudoinverse.

Mengapa Menggunakan Kalkulator Ini?

Alat ini membantu Anda:

  • Mendekomposisi matriks menjadi U, Σ, dan V* untuk analisis yang lebih mendalam
  • Memahami perilaku matriks Anda melalui nilai singularnya
  • Menjelajahi sifat-sifat seperti peringkat matriks, angka kondisi, dan norma Frobenius
  • Memverifikasi akurasi dekomposisi
  • Menghitung pseudoinverse Moore-Penrose secara instan

Jika Anda bekerja dengan data gambar, statistik, atau menyelesaikan sistem linier, kalkulator ini memberikan pemecahan yang Anda butuhkan. Ini melengkapi alat lain seperti Kalkulator Dekomposisi LU, Kalkulator Pseudoinverse, dan Kalkulator Invers Matriks dengan fokus khusus pada analisis nilai singular.

Bagaimana Cara Menggunakan Kalkulator SVD

Ikuti langkah-langkah sederhana ini:

  1. Pilih jumlah baris dan kolom untuk matriks Anda.
  2. Klik “Buat Matriks” untuk menghasilkan kolom input.
  3. Masukkan nilai matriks Anda ke dalam kolom.
  4. Pilih opsi tampilan seperti presisi desimal dan apakah akan menampilkan penjelasan langkah demi langkah.
  5. Klik “Hitung SVD” untuk memproses matriks.
  6. Tinjau matriks U, Σ, dan V* yang dihasilkan, serta nilai turunan seperti pseudoinverse dan angka kondisi.

Anda juga dapat memuat matriks contoh menggunakan tombol “Muatan Contoh” untuk melihat cara kerjanya secara instan.

Manfaat Menggunakan SVD

SVD digunakan di berbagai bidang dan memiliki manfaat praktis:

  • Kompresi Data: Mengurangi ukuran data tanpa kehilangan fitur penting
  • Pengurangan Kebisingan: Menghilangkan komponen kecil dalam sinyal atau dataset
  • Pembelajaran Mesin: Meningkatkan kinerja algoritma melalui pengurangan dimensi
  • Solusi Matriks: Menghitung pseudoinverse ketika invers normal tidak ada
  • Pengolahan Gambar: Mengompresi dan merekonstruksi gambar secara efisien

Alat ini sangat berguna ketika dipasangkan dengan alat matriks seperti Kalkulator Faktorisasi QR, Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan, dan Kalkulator Diagonal Matriks.

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

  • Ukuran matriks berapa yang bisa saya masukkan?
    Anda dapat memasukkan matriks dari 1×1 hingga 10×10.
  • Bagaimana jika matriks saya memiliki nilai yang sangat kecil?
    Kalkulator menyoroti nilai mendekati nol untuk membantu Anda fokus pada hasil yang signifikan.
  • Bisakah saya melihat bagaimana SVD dihitung?
    Ya! Aktifkan opsi “Tampilkan penjelasan” untuk melihat pemecahan langkah demi langkah dari dekomposisi.
  • Apakah alat ini berguna untuk belajar?
    Tentu saja. Pemecahan visual dan langkah-langkah perhitungan menjadikannya alat bantu belajar yang hebat bagi siswa dan pendidik.
  • Bagaimana ini berbeda dari alat matriks lainnya?
    Sementara Kalkulator Invers Matriks dan faktorisasi matriks LU fokus pada solusi langsung untuk sistem linier, SVD menawarkan lebih banyak wawasan tentang struktur dan stabilitas matriks.

Alat Terkait yang Mungkin Anda Temukan Berguna