Kalkulator Divergensi

Kalkulator Divergensi: Penjelasan dan Panduan Penggunaan

Kalkulator Divergensi adalah alat interaktif yang dirancang untuk menghitung divergensi dari medan vektor tiga dimensi. Ini memberikan cara intuitif untuk menghitung dan memvisualisasikan divergensi dari medan vektor ( \mathbf{F}(x, y, z) ), menawarkan baik representasi simbolis dari divergensi maupun evaluasinya pada titik-titik tertentu. Selain itu, alat ini menghasilkan visualisasi grafis dari medan vektor untuk membantu pengguna mendapatkan wawasan yang lebih dalam tentang perilakunya.

Apa itu Divergensi?

Divergensi adalah kuantitas skalar yang mengukur laju di mana medan vektor menyebar atau berkumpul pada titik tertentu. Secara matematis, divergensi dari medan vektor ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) diberikan oleh:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Jika divergensi positif, medan vektor menyebar pada titik tersebut.
• Jika divergensi negatif, medan vektor berkumpul pada titik tersebut.
• Jika divergensi nol, medan tersebut dikatakan solenoidal pada titik tersebut.

Kalkulator ini menyediakan baik divergensi simbolis maupun opsi untuk mengevaluasinya secara numerik pada titik-titik tertentu.

Fitur Kalkulator Divergensi

• Divergensi Simbolis: Secara otomatis menghitung turunan parsial dari komponen medan vektor dan membangun persamaan divergensi.
• Evaluasi Titik: Mengevaluasi divergensi secara numerik pada titik tertentu ( (x, y, z) ).
• Visualisasi Grafis: Menampilkan representasi 3D dari medan vektor menggunakan kemampuan pemetaan 3D interaktif Plotly.
• Contoh Dropdown: Memuat contoh medan vektor yang telah ditentukan sebelumnya untuk eksplorasi dengan cepat.
• Penanganan Kesalahan: Memastikan bahwa input yang tidak valid atau tidak lengkap ditangani dengan baik.

Cara Menggunakan Kalkulator Divergensi

Ikuti langkah-langkah sederhana ini untuk menggunakan kalkulator dengan efektif:

1. Masukkan Medan Vektor:
2. Masukkan komponen ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), dan ( R(x, y, z) ) dari medan vektor ke dalam kotak input yang sesuai.

3. Contoh:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Pilih Contoh:

5. Gunakan menu dropdown untuk memuat contoh medan vektor yang telah ditentukan sebelumnya.

6. Tentukan Titik Evaluasi (Opsional):

7. Jika Anda ingin mengevaluasi divergensi pada titik tertentu, masukkan nilai ( x ), ( y ), dan ( z ) di bidang yang sesuai.

8. Klik "Hitung":

9. Kalkulator akan:

   • Menghitung divergensi simbolis.
   • Mengevaluasi divergensi pada titik yang ditentukan (jika diberikan).
   • Menampilkan rincian langkah-demi-langkah dari perhitungan.
   • Menghasilkan visualisasi 3D dari medan vektor.

10. Bersihkan Input:

11. Gunakan tombol "Bersihkan" untuk mengatur ulang kalkulator.

Contoh Panduan

Contoh Medan Vektor:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Masukkan komponen:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Klik "Hitung." Kalkulator akan:

6. Menghitung turunan parsial:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Menggabungkannya untuk menemukan: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Jika titik evaluasi ( (x=1, y=1, z=0) ) diberikan, hasilnya akan dievaluasi sebagai: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualisasikan medan vektor 3D yang dihasilkan pada grafik.

FAQ

1. Format input apa yang didukung untuk komponen medan vektor?

Kalkulator mendukung fungsi dalam istilah ( x ), ( y ), dan ( z ). Contoh termasuk: - Fungsi polinomial: ( x^2, y^2 + z ) - Fungsi trigonometri: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Fungsi eksponensial: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Apa yang terjadi jika saya tidak memberikan titik evaluasi?

Jika tidak ada titik evaluasi yang ditentukan, kalkulator hanya akan menampilkan persamaan divergensi simbolis.

3. Bisakah saya menggunakan kalkulator ini untuk medan vektor 2D?

Ya, cukup biarkan komponen ( R(x, y, z) ) kosong atau atur ke nol.

4. Bagaimana visualisasi medan vektor 3D dihasilkan?

Kalkulator menggunakan Plotly untuk membuat grafik medan vektor 3D interaktif. Setiap panah mewakili arah dan magnitudo medan pada titik tertentu.

5. Apa yang terjadi jika input saya memiliki kesalahan?

Kalkulator memeriksa kesalahan seperti komponen yang hilang atau ekspresi yang tidak valid. Pesan kesalahan yang deskriptif akan memandu Anda untuk memperbaiki masalah tersebut.

Ringkasan

Kalkulator Divergensi menyederhanakan proses analisis medan vektor dengan mengotomatiskan perhitungan divergensi dan memberikan representasi visual yang jelas. Apakah Anda seorang siswa, guru, atau profesional, alat ini sangat cocok untuk mendapatkan wawasan tentang perilaku medan vektor di ruang 3D. Mulailah menjelajahi sekarang untuk membuka potensi penuh dari kalkulator yang kuat ini!