Kalkulator Gram-Schmidt

Kategoria: Aljabar Linear
- July 12, 2025
| |

Proses Gram-Schmidt adalah metode untuk mengortogonalisasi sekumpulan vektor dalam ruang produk dalam. Kalkulator ini mengubah sekumpulan vektor yang saling bebas secara linear menjadi basis ortogonal atau ortonormal.

Input Vektor

Pilih dimensi vektor Anda
Pilih jumlah vektor untuk diortogonalisasi

Opsi Perhitungan

Pilih apakah akan menormalkan vektor output
Bulatkan hasil hingga jumlah desimal ini

Pengaturan Lanjutan

Pilih jenis produk dalam yang akan digunakan

Tentang Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt adalah metode untuk mengubah sekumpulan vektor yang saling bebas secara linear menjadi sekumpulan vektor ortogonal atau ortonormal. Sekumpulan vektor ortogonal atau ortonormal ini membentang pada subruang yang sama dengan sekumpulan vektor asli.

Algoritma

Untuk sekumpulan vektor yang saling bebas secara linear \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \), proses Gram-Schmidt membangun sekumpulan vektor ortogonal \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) sebagai berikut:

\begin{align} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align}

dengan \( \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \) adalah proyeksi \( \mathbf{v} \) ke \( \mathbf{u} \).

Untuk mendapatkan basis ortonormal, setiap vektor \( \mathbf{u}_i \) dinormalisasi dengan membagi panjangnya: \( \mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{|\mathbf{u}_i|} \).

Aplikasi
  • Aljabar Linear: Membuat basis ortogonal untuk ruang vektor
  • Analisis Numerik: Faktorisasi QR matriks
  • Statistik: Mengortogonalisasi prediktor dalam analisis regresi
  • Fisika: Menemukan mode normal osilasi
  • Pemrosesan Sinyal: Membuat fungsi basis ortogonal
  • Mekanika Kuantum: Membangun basis keadaan ortonormal
Properti Vektor Ortogonal
  • Produk Dalam: Untuk vektor ortogonal \( \mathbf{u} \) dan \( \mathbf{v} \), \( \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \)
  • Kemerdekaan Linear: Vektor ortogonal yang tidak nol secara otomatis saling bebas secara linear
  • Teorema Pythagoras: \( |\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 \) untuk vektor ortogonal
  • Representasi: Setiap vektor dalam rentang dapat dengan mudah direpresentasikan sebagai kombinasi linear

Disclaimer: Kalkulator ini menyediakan implementasi proses Gram-Schmidt untuk tujuan edukasi. Untuk dimensi yang sangat besar atau vektor yang kurang kondisional, stabilitas numerik mungkin terpengaruh. Dalam aplikasi profesional, pertimbangkan untuk menggunakan pustaka numerik khusus. Proses Gram-Schmidt dapat menghasilkan hasil yang tidak akurat dengan vektor yang hampir saling bebas secara linear karena keterbatasan aritmatika floating-point.

Rumus Ortogonal Gram-Schmidt:

Diberikan satu set vektor bebas linear \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \), himpunan ortogonal \( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \) dibangun sebagai:

\[ \begin{align*} \mathbf{u}_1 &= \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) \\ \mathbf{u}_3 &= \mathbf{v}_3 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) - \text{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3) \\ \vdots \\ \mathbf{u}_k &= \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) \end{align*} \]

dengan proyeksi didefinisikan sebagai: \[ \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} \]

Apa Itu Kalkulator Gram-Schmidt?

Kalkulator Gram-Schmidt adalah alat interaktif yang membantu Anda mengonversi satu set vektor bebas linear menjadi basis ortogonal atau ortonormal. Ini berguna untuk menyederhanakan operasi vektor yang kompleks dan bekerja secara efisien di ruang berdimensi tinggi.

Alat ini mendukung baik produk titik standar maupun produk dalam berbobot, memberikan fleksibilitas untuk berbagai konteks matematika atau teknik.

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Kalkulator ini sangat membantu ketika Anda ingin:

  • Membuat basis ortogonal atau ortonormal untuk ruang vektor
  • Memahami dekomposisi QR, sebuah proses dasar dalam aljabar linear dan analisis numerik
  • Memverifikasi ortogonalitas vektor dengan cepat
  • Menerapkan proyeksi vektor dalam fisika, analisis data, atau pembelajaran mesin

Ini melengkapi alat lain seperti Kalkulator Faktorisasi QR, Kalkulator Invers Matriks, dan Kalkulator Proyeksi Vektor dengan mempersiapkan data dalam format ortogonal yang terstruktur.

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk melakukan proses Gram-Schmidt:

  1. Pilih dimensi vektor Anda (misalnya, 2D, 3D, dll.).
  2. Pilih berapa banyak vektor yang ingin Anda sertakan (hingga 5).
  3. Masukkan komponen setiap vektor. Nilai default disediakan untuk pengujian cepat.
  4. Pilih Ortogonal atau Ortonormal sebagai jenis keluaran.
  5. Opsional: sesuaikan presisi desimal atau pilih produk titik berbobot jika diperlukan.
  6. Klik "Hitung Gram-Schmidt" untuk melihat hasilnya, termasuk:
    • Vektor yang diortogonalisasi
    • Penjelasan langkah demi langkah
    • Representasi matriks
    • Pemeriksaan ortogonalitas
    • Tips aplikasi

Siapa yang Dapat Mendapat Manfaat?

Alat ini ideal untuk:

  • Mahasiswa yang mempelajari tentang kebebasan linear, ruang vektor, atau dekomposisi matriks
  • Insinyur dan ilmuwan yang bekerja pada simulasi, pemrosesan sinyal, atau analisis struktur
  • Analis data yang menerapkan transformasi matriks dalam alur kerja pembelajaran mesin
  • Siapa saja yang menggunakan alat seperti Kalkulator Dekomposisi LU atau Kalkulator Penjumlahan Vektor untuk menangani vektor atau matriks

Pertanyaan Umum (FAQ)

Apa arti "ortogonal"?

Vektor ortogonal berada pada sudut siku-siku satu sama lain. Produk dalamnya adalah nol, yang menyederhanakan banyak perhitungan.

Apa perbedaan antara ortogonal dan ortonormal?

Vektor ortonormal adalah ortogonal dan masing-masing memiliki panjang 1. Mereka biasanya digunakan untuk mendefinisikan sistem koordinat dan menyederhanakan proyeksi.

Mengapa kalkulator membutuhkan vektor bebas linear?

Jika vektor Anda tidak bebas linear, proses Gram-Schmidt tidak dapat menghasilkan basis yang valid karena beberapa vektor dapat ditulis sebagai kombinasi dari yang lain.

Apa kegunaan produk dalam berbobot?

Produk dalam berbobot digunakan ketika dimensi yang berbeda memiliki kepentingan atau skala yang berbeda—umum dalam fisika atau matematika terapan.

Bagaimana ini terkait dengan dekomposisi QR?

Keluaran dari kalkulator ini membentuk matriks "Q" dalam proses faktorisasi QR, yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Alat Terkait yang Berguna

Jelajahi alat matriks dan vektor lainnya yang melengkapi perhitungan Gram-Schmidt:

Ringkasan

Kalkulator Gram-Schmidt menawarkan cara yang jelas dan praktis untuk mengubah vektor bebas linear menjadi himpunan ortogonal atau ortonormal. Ini membantu dalam pembelajaran, pengajaran, dan penerapan transformasi ruang vektor. Apakah Anda sedang menganalisis data, menyelesaikan persamaan, atau mempersiapkan matriks untuk dekomposisi lebih lanjut, alat ini menambahkan presisi dan kejelasan pada pekerjaan Anda.