Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Kategoria: Aljabar Linear
- October 16, 2025
| |

Hitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi. Nilai eigen dan vektor eigen memiliki aplikasi penting dalam transformasi linier, persamaan diferensial, mekanika kuantum, dan banyak bidang lain dalam matematika dan fisika.

Input Matriks

Opsi Tampilan

Tentang Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen adalah konsep dasar dalam aljabar linier. Vektor eigen dari matriks persegi A adalah vektor tidak nol v yang, ketika dikalikan dengan A, menghasilkan kelipatan skalar dari dirinya sendiri. Skalar ini disebut nilai eigen.

Definisi Matematis

Untuk matriks persegi A, vektor tidak nol v adalah vektor eigen jika:

Av = λv

di mana λ adalah nilai eigen yang terkait dengan vektor eigen v.

Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen
  1. Nilai Eigen: Selesaikan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
  2. Vektor Eigen: Untuk setiap nilai eigen λ, selesaikan sistem homogen (A - λI)v = 0
Aplikasi Nilai Eigen dan Vektor Eigen
  • Persamaan Diferensial: Menyelesaikan sistem persamaan diferensial linier
  • Analisis Komponen Utama: Pengurangan dimensi dalam statistik dan ilmu data
  • Mekanika Kuantum: Mendeskripsikan observabel fisik dan keadaan kuantum
  • Rekayasa: Analisis getaran, stabilitas struktural, dan sistem kontrol
  • Diagonalization Matriks: Menyederhanakan operasi matriks melalui transformasi
  • Teori Graf: Analisis spektral jaringan dan konektivitas
Properti
  • Determinant dari sebuah matriks sama dengan produk dari nilai eigennya
  • Trace dari sebuah matriks sama dengan jumlah dari nilai eigennya
  • Sebuah matriks dapat didiagonalisis jika dan hanya jika ada n vektor eigen yang independen secara linier untuk matriks n×n
  • Matriks simetris selalu memiliki nilai eigen nyata dan vektor eigen ortogonal
  • Matriks yang serupa memiliki nilai eigen yang sama

Apa Itu Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen?

Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen adalah alat yang kuat dirancang untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi mana pun. Jenis perhitungan ini umum digunakan di bidang seperti teknik, fisika, ilmu data, dan aljabar linier untuk memahami transformasi, menyelesaikan sistem persamaan, dan melakukan analisis matriks.

Persamaan Nilai Eigen:

Av = λv

Di mana:

  • A adalah matriks persegi
  • v adalah vektor eigen
  • λ (lambda) adalah nilai eigen

Bagaimana Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah ini untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks:

  • Pilih ukuran matriks (dari 2×2 hingga 6×6).
  • Klik "Buat Matriks" untuk menghasilkan kolom input.
  • Masukkan nilai untuk matriks Anda.
  • Sesuaikan pengaturan tampilan seperti presisi desimal atau menampilkan langkah-langkah jika diinginkan.
  • Klik "Hitung Nilai Eigen & Vektor Eigen."

Setelah perhitungan, alat ini menampilkan:

  • Matriks asli
  • Semua nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai
  • Polinomial karakteristik
  • Sifat matriks seperti determinan dan jejak
  • Verifikasi hasil (Av = λv)
  • Langkah diagonalization jika berlaku

Mengapa Kalkulator Ini Berguna

Nilai eigen dan vektor eigen membantu menyederhanakan sistem linier yang kompleks dan mengungkapkan sifat penting tentang matriks. Kalkulator ini sangat berguna untuk:

  • Mahasiswa: Belajar dan memverifikasi diagonalization matriks, normalisasi, dan analisis eigen
  • Peneliti: Menghitung data spektral dengan cepat tanpa perhitungan manual
  • Insinyur & Ilmuwan Data: Digunakan dalam analisis getaran, PCA, studi stabilitas, dan lainnya

Alat ini juga melengkapi kalkulator matriks lainnya, termasuk:

  • Kalkulator Diagonalize Matriks – untuk mend diagonalize matriks
  • Kalkulator Invers Matriks – untuk menemukan invers dari sebuah matriks
  • Kalkulator Eliminasi Gauss-Jordan – untuk menyelesaikan sistem linier
  • Kalkulator Dekomposisi LU – untuk mengeksplorasi faktorisasi matriks LU

Fitur Utama

  • Mendukung matriks dari 2×2 hingga 6×6
  • Menangani nilai eigen real dan kompleks
  • Normalisasi vektor eigen
  • Tampilan langkah demi langkah dari perhitungan
  • Verifikasi diagonalization dengan matriks P, D, dan P⁻¹

Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)

Apa itu nilai eigen dan vektor eigen digunakan untuk?

Mereka digunakan di banyak bidang seperti persamaan diferensial, mekanika kuantum, pembelajaran mesin (PCA), dan analisis struktural.

Apa itu polinomial karakteristik?

Polinomial karakteristik diturunkan dari sebuah matriks dan digunakan untuk menemukan nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan det(A - λI) = 0.

Apakah kalkulator ini dapat menangani bilangan kompleks?

Ya. Ini dapat menampilkan dan menghitung dengan nilai eigen kompleks jika diaktifkan dalam opsi.

Apa arti diagonalization?

Diagonalization menulis ulang sebuah matriks dalam bentuk A = PDP⁻¹, yang menyederhanakan operasi matriks. Kalkulator memeriksa apakah matriks dapat didiagonalize.

Apakah ini membantu dengan operasi matriks lainnya?

Ya, ini melengkapi alat seperti alat perkalian matriks, kalkulator pembagian matriks, alat transpose matriks, dan kalkulator jejak matriks untuk alur kerja aljabar linier yang lebih luas.

Ringkasan

Kalkulator Nilai Eigen dan Vektor Eigen menyederhanakan analisis matriks dan mendukung pembelajaran serta pemecahan masalah dalam aljabar linier. Apakah Anda sedang menjelajahi nilai eigen dan diagonalization, menggunakan teknik pemecahan matriks LU, atau membandingkan keluaran dengan alat invers matriks, kalkulator ini menawarkan cara yang jelas, efisien, dan edukatif untuk bekerja dengan matriks.