Kalkulator Transformasi Laplace

Kategoria: Kalkulus
- April 07, 2025
| |

Hitung transformasi Laplace dan invers transformasi Laplace untuk fungsi dan ekspresi umum. Masukkan fungsi Anda dalam istilah t (domain waktu) atau s (domain frekuensi).

Jenis Transformasi

Input Fungsi

t =

Transformasi Umum

Pasangan Transformasi Laplace Umum

Domain Waktu f(t) Domain Frekuensi F(s) Kondisi

Tentang Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah transformasi integral yang mengubah fungsi dari variabel nyata t (sering kali waktu) menjadi fungsi dari variabel kompleks s (frekuensi). Ini mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan.

Definisi

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

Transformasi Laplace invers didefinisikan sebagai:

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
Properti Kunci
  • Linearitas: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • Diferensiasi: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • Integrasi: ℒ{∍0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • Pergeseran: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • Penundaan waktu: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
Aplikasi
  • Menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial
  • Analisis rangkaian elektronik dan sistem kontrol
  • Pengolahan sinyal dan analisis sistem
  • Getaran mekanis dan transfer panas

Apa Itu Kalkulator Transform Laplace?

Kalkulator Transform Laplace adalah alat praktis yang membantu pengguna menyelesaikan transformasi Laplace dan invers transformasi Laplace. Transformasi ini digunakan untuk mengubah fungsi antara domain waktu dan domain frekuensi—teknik yang penting dalam rekayasa, fisika, dan matematika lanjutan.

Kalkulator ini sangat berguna bagi siswa, pendidik, dan profesional yang bekerja dengan persamaan diferensial, analisis sistem, atau pemrosesan sinyal.

Transformasi Laplace:

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

Transformasi Invers Laplace:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

Cara Menggunakan Kalkulator

Ikuti langkah-langkah sederhana ini untuk menggunakan Kalkulator Transform Laplace secara efektif:

  • Pilih Jenis Transformasi: Pilih antara "Transformasi Laplace" (waktu → frekuensi) atau "Transformasi Invers Laplace" (frekuensi → waktu).
  • Masukkan Fungsi: Masukkan ekspresi Anda dalam bentuk t atau s tergantung pada transformasi yang dipilih.
  • Opsional: Tentukan nilai numerik untuk variabel agar mendapatkan hasil yang dihitung pada titik tersebut.
  • Pilih Presisi: Pilih berapa banyak tempat desimal yang Anda inginkan dalam jawaban akhir.
  • Klik "Hitung Transformasi": Alat ini akan menghitung hasil dan memberikan penjelasan langkah demi langkah.

Fitur yang Membuatnya Berguna

  • Mendukung baik transformasi Laplace maupun invers transformasi Laplace
  • Termasuk tabel transformasi umum untuk referensi cepat
  • Menampilkan langkah-langkah solusi dan sifat transformasi yang digunakan
  • Menawarkan evaluasi numerik opsional untuk nilai fungsi
  • Sempurna untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan cepat

Mengapa Menggunakan Alat Ini?

Perhitungan manual transformasi Laplace bisa memakan waktu dan rentan terhadap kesalahan. Kalkulator ini menyederhanakan proses dan memberikan hasil instan. Apakah Anda sedang mempelajari rangkaian listrik, sistem mekanik, atau model matematika, alat ini mempercepat alur kerja Anda.

Kalkulator ini melengkapi alat matematika lainnya seperti Kalkulator Turunan Parsial untuk diferensiasi multivariable, Kalkulator Antiturunan untuk menemukan antiturunan, dan Kalkulator Turunan Kedua untuk analisis kelengkungan dan konveksitas. Ini adalah bagian dari toolkit yang lebih luas yang berguna untuk menangani segala sesuatu mulai dari menemukan batas fungsi dengan Kalkulator Batas hingga menyelesaikan integral secara online dengan Kalkulator Integral.

Kasus Penggunaan Umum

  • Menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ODE)
  • Menganalisis sistem kontrol dan respons rangkaian
  • Menilai perilaku domain waktu dari ekspresi domain frekuensi
  • Aplikasi rekayasa dan fisika yang melibatkan sistem transien atau keadaan tetap

FAQ

Q: Fungsi apa yang bisa saya masukkan?

Anda dapat memasukkan ekspresi seperti t^2, sin(3t), e^(-2t), atau 1/s^2. Kalkulator secara otomatis mengidentifikasi bentuk umum atau menawarkan panduan jika tidak ada kecocokan yang ditemukan.

Q: Apa yang terjadi jika fungsi saya tidak dikenali?

Jika input Anda tidak cocok dengan transformasi yang dikenal, kalkulator akan memberi tahu Anda. Anda dapat merujuk ke tabel transformasi umum yang disertakan dalam antarmuka atau mencoba memodifikasi input Anda.

Q: Bisakah saya menggunakan ini untuk memeriksa pekerjaan rumah atau tugas?

Ya, ini ideal untuk memeriksa hasil transformasi Laplace dan memahami langkah-langkah solusi, yang membantu memperkuat pembelajaran.

Q: Apakah ini juga berfungsi untuk transformasi invers?

Absolut. Cukup ganti jenis transformasi menjadi "Transformasi Invers Laplace" dan masukkan fungsi domain frekuensi dalam bentuk s.

Q: Apakah ini berguna bersama kalkulator lainnya?

Pastinya. Gunakan ini dengan alat seperti Kalkulator Turunan Implisit, Kalkulator Teorema Nilai Rata-rata, atau Kalkulator Jacobian untuk mencakup berbagai masalah kalkulus dan analisis sistem.

Kesimpulan

Kalkulator Transform Laplace adalah alat yang berguna dan mudah digunakan bagi siapa saja yang membutuhkan hasil transformasi yang cepat dan akurat. Apakah Anda mencoba menyelesaikan persamaan Laplace, menganalisis perilaku sistem, atau menyederhanakan persamaan diferensial, ini menawarkan keluaran dan penjelasan yang jelas. Gunakan ini bersama kalkulator lain seperti Kalkulator Turunan Arah atau Kalkulator Nilai Rata-rata Fungsi untuk menangani lebih banyak jenis masalah matematika dengan percaya diri.